アキレスと亀、ゼノンのパラドックスから広がる無限論のお話【無限論の教室】

この間買って読んでいる本が、知的好奇心をみたせていい感じに頭の体操にもなる良書だったので、メモがてら紹介しようと思います。

タイトルは「無限論の教室」です。

 

ゼノンのパラドクスの誤解

ゼノンのパラドクスとは、亀より速く動くことのできるアキレスさんがどうしたって亀に追いつけないように説明できる矛盾のことです。

 

例えば、アキレスさんは1分で2m進むことができ、亀さんは1分で1mだけ進むことができます。

アキレスと亀が競争します、その時スタート位置に1mのハンデを付けます。(アキレスが亀より1m後ろからスタートする)

アキレスが1/2分かけて1m進んで亀のいた地点に到達する頃には、亀さんはその位置から1/2m進んでいます。

その時亀がいた地点(1/2m進んだ地点)にアキレスが到達するころには、亀はまた少し先に進んでいます。

亀が少し進んだその地点に、アキレスが到達する頃には、また亀はもうちょこっと先に進んでいます・・・

 

このように考えると、アキレスが一向に亀に追いつくことができないように感じます。

しかし現実にはアキレスのほうが亀より足が速いため、追いつきます。(この例では、1分で追いつきます。)なぜでしょうか。

 

これは高校数学で学ぶ無限級数の考え方をすると一部解決することができます。

というのも、アキレスが亀に追いつく時間をSとすると、

S=1/2+1/4+1/8+1/16・・・・

となりますが、これは収束する無限級数であり、1に収束します。

(S-1/2S=1/2 となり、 S=1 が導ける。)

無限に数を足していくと数は無限に大きくなってしまうと思いがちですが、収束するものも存在するため、何の矛盾もありませんよ。

という風に思われてしまいがちなパラドクスですが、実はことはそう単純ではない、という風にはなしが展開していきます。

 

超作業法のパラドクス

ここでゼノンのパラドクスの指摘する本当の問題を捉えるために、超作業法のパラドクスというものを見ていきます。

またアキレスさんに登場してもらいます。

自然数(1,2,3,・・・・)を書き上げることが考えます。

アキレスは1/2分かけて「1」を書き、1/4分かけて「2」を書き、1/8分かけて「3」と書き・・・という風に自然数を書いていく作業を行います。

このとき、この作業が終わる時間Sは

S=1/2+1/4+1/8+1/16+・・・・

となり、これは収束する無限級数であり、1に収束します。

つまり、アキレスは作業をはじめて1分後に、自然数を書き終えた(=数え終えた)事になります。

あれ、自然数って定義上無限に続くもので、数え上げることって不可能ですよね。

ということでここに矛盾が生じます。

 

これは先程のアキレスと亀の追いかけっこの話とそっくりですよね。

よーいどんとスタートして、アキレスがはじめに亀にいた地点に到達したら1を数え、その時亀がいた位置にアキレスが到達したら2を数え、その時亀がいた地点に到達したら3を数え・・・というふうに考えると、

スタートして1分後にはアキレスは自然数を数え上げたことになってしまいます。

 

したがって、無限に数を足していっても収束することもありますよ、というだけではゼノンのパラドクスを説明できたことにはなりません。

理屈ではアキレスは亀に追いつけないけれども、現実にはアキレスは亀に追いついてしまう・・・不思議です。

 

矢と的のパラドクス

アキレスと亀のおいかけっこの変形パターンとして、矢と的のパラドクスというものがあります。

アキレスがゼノンに向かって弓矢を構えているシーンを想像してください。

 

この時ゼノンはこう言います。

「君の矢は私のところまで届かない。

なぜならば、矢が私のところに到達するには、私と君の中間点を通過しなくてはならない。

しかし、そこに矢が到達しても、私のところまで届くには、そこと私の中間点を通過しなくてはならない。

そこに矢が到達しても、私のところまで届くには、そこと私の中間点を通過しなくてはならない・・・

そう考えていくと、矢がどれほど近づいても、そこと私の間に中間点は存在し、そこを通過しなくては私に到達しないので、矢は絶対私には到達しない。

さあどうだ、放ってみろ」

 

・・・ゼノンは矢に貫かれます。

 

さてゼノンの理屈にはどんな穴があったのでしょうか。

 

 

 

著者の野矢さんは、この例から実無限、可能無限と無限論の話を繰り広げていきます。

結構数学チックな話が続くのですが、数学苦手な人にも理解しやすいような、読み物として楽しめる書き方がされています。

どうして理屈ではアキレスが亀に追いつけないのか、どうして矢がゼノンにたどり着かないのか気になる方はぜひ読んでみてください、面白いですよ!

「無限論の教室」

講談社現代新書

野矢茂樹 著